Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике - Страница 28

• Предыдущая
• 28 / 44
• Следующая

* * *

ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ ФЕРМА ДЛЯ СТЕПЕНИ 3

Хотя уравнение х + у = z не имеет целых решений, отличных от нуля, они «почти» есть, так как некоторые значения х, у, z «почти» удовлетворяют этому уравнению. Нетрудно видеть, что 5 + 6 = 7 — 2 всего на две единицы отличается от равенства, приведенного Ферма. Еще более удивительный случай: 6 + 8 = 9 — 1. Кажется невероятным, что мы подобрались так близко к решению, но тем не менее не существует целых чисел, которые бы удовлетворяли уравнению!

Что произойдет, если мы добавим новый член в уравнение Ферма? Удивительно, но в этом случае оно будет иметь целые решения, отличные от нуля! Так, 3 + 4 + 5 = 6, 7 + 14 + 17 = 20.

В одном из эпизодов сериала «Симпсоны» можно увидеть равенство 1782 + 1841 = 1922.

Неужели Лизе Симпсон удалось решить загадку Ферма? После более тщательного анализа становится понятно, что эти числа «почти» являются решением, так как равенство выполняется с точностью до девятого знака. В другом эпизоде приводится еще более точное решение. В серии «Волшебник с вечнозеленой террасы» упоминается равенство 3987 + 4365 = 4472 — еще одно «почти» решение, левая и правая части которого совпадают с точностью до десятого знака, и, кроме этого, цифры первых разрядов также совпадают. Обнаружить эту неточность с помощью обычного восьмиразрядного калькулятора невозможно.

* * *

Ферма полагал, что найденный им метод бесконечного спуска является общим методом, который можно использовать в доказательствах любых теорем теории чисел, подобно тому как Декарт считал, что все задачи в природе можно решить с помощью аналитической геометрии. Но реальность, как всегда, оказалась шире подобных представлений. Ее многообразие нельзя охватить каким-то одним методом, сколь мощным бы он ни был. Всегда будут находиться исключения, которые будут бросать вызов человеческому разуму, и человеку нужно будет постоянно превосходить самого себя, чтобы достигнуть новых и новых высот. Именно это произошло с последней теоремой Ферма.

С помощью метода бесконечного спуска Ферма нашел доказательство для n = 3, но, возможно, он понял, что доказать теорему аналогичным способом для высших степеней не удастся. Но даже несмотря на это, вклад Ферма остается поразительным — доказав теорему для n = 4, он создал новый математический метод, оказавшийся удивительно многогранным.

Кроме этого, он доказал свою теорему для половины всех возможных показателей, что уже немало. Тем не менее, вопрос о доказательстве теоремы для всех остальных случаев оставался открытым. С тех пор на него пытались ответить самые выдающиеся математики, но безуспешно.

Труды Ферма были опубликованы после его смерти. На рисунке — титульный лист одной из книг Ферма, изданной в XIX веке.

Гений, который не публиковал своих работ

Мы неоднократно упоминали, что Ферма не хотел публиковать свои работы. Но это не совсем так. Уже в 1636 году он отправил Мерсенну изложение своего метода нахождения максимумов и минимумов и попросил показать эту работу парижским математикам. Кроме этого, в своей переписке, которую он вел на протяжении всей жизни, Ферма не просто предлагал новые задачи, но и указывал пути их решения, а в некоторых случаях подробно объяснял свои методы.

В 1654 году Ферма возобновил переписку с парижскими математиками. Блез Паскаль обратился к нему с просьбой прокомментировать его идеи о вероятностях, и Ферма гениальным образом увидел связь между вероятностями и комбинаторикой. В своих письмах Паскаль заложил основы новой математической дисциплины — теории вероятностей, и Ферма воспользовался моментом, чтобы представить некоторые из своих последних результатов.

С одной стороны, Ферма предлагал новые задачи теории чисел Блезу Паскалю, Жилю Робервалю, Джону Валлису, Уильяму Броункеру, Бернару Френиклю де Бесси и многим другим. Среди этих задач были следующие: найти все целые решения уравнения Nx + 1 = у, где N не является квадратом; доказать, что уравнение х + 2 = у имеет только одно решение на множестве натуральных чисел; доказать, что

Уильям Броункер был одним из многих математиков, с кем переписывался Ферма.

С другой стороны, Ферма попросил Паскаля и де Каркави, чтобы они помогли ему найти издателя для его книги «Использование корней второй и высших степеней в анализе». С этой целью 9 августа 1654 года он пишет де Каркави: «Если это не оскорбит вас, не могли бы вы (здесь имеются в виду де Каркави и Паскаль. — Примеч. автора) сделать возможной печать (имеется в виду печать его книги. — Примеч. автора), для чего я не возражаю, чтобы вы вносили любые изменения, прояснив некоторые понятия, которые, по вашему мнению, изложены слишком кратко, избавив меня таким образом от этой тягостной задачи, завершить которую мне мешают другие дела. Мне бы хотелось, чтобы в работе не упоминалось мое имя, и я даю вам право приписать авторство этого труда тому, кого вы считаете вашим другом». Де Каркави, в свою очередь, обратился к Гюйгенсу. Но никому из них так и не удалось опубликовать эту книгу Ферма. Шло время, и работам Ферма стало угрожать забвение.

* * *

СЛУЧАЙ ДЛЯ 4К + 1

Примером неполных объяснений, которые встречаются в Relation des nouvelles découvertes en la science des nombres, являются способы доказать, что любое простое число вида 4k + 1 можно представить как сумму двух квадратов. Нужно начать с предположения, что существует простое число вида 4k + 1, которое нельзя представить в виде суммы двух квадратов. Тогда можно убедиться, что существует простое число, меньшее данного, которое также нельзя представить в виде суммы двух квадратов. Это ведет к противоречию, так как путем подобных рассуждений мы придем к числу 5 — наименьшему из простых чисел подобного вида, но его можно представить как сумму двух квадратов: 5 = 2 + 1. Следовательно, исходное утверждение доказано. Но Ферма не объясняет, как совершить переход от большего простого числа к меньшему. Лишь через несколько десятилетий Эйлер восстановил действия, пропущенные в доказательстве Ферма. Это еще один пример того, как Ферма нашел доказательство, но не потрудился записать его.